propiedades de esperanza matemática, varianza y desviación estandar

Propiedades de la esperanza matemática

·       E [aX] = a E [X]            a es una constante y x una variable

Ejemplo: Reactivos defectuosos en un laboratorio

X	0	1	2
P(X=x)	0,1	0,5	0,4

E (x) = Σxi. P (X=x)

E(x)= [(0.0,1) + (1. 0,5) + (2. 0,4)] =

E(x) = 0 + 0,5 + 0,8 = 1,3 reactivos

Para que se cumpla la primera propiedad la multiplicación de cada constante debe ser igual a la constante multiplicada por E [x] quedando de la siguiente manera:

E(2) = [(0.0,1)x2 + (1.0,5)x2 + (2.0,4)x2 = 1,3 x 2

E (2) = 0 + 1 + 1,6 =2,6                          =     2,6

Obteniéndose igual resultado de ambos lados de la variable.

·         E [X + Y] = E [X] + E [Y]            si X y Y son aleatorias.

Primero se busca la variable y calculando la esperanza:

Y	0	1	2
P(X=x)	0,2	0,1	0,7

E (y) = Σyi. P (X=x)

E(y)= [(0.0,2) + (1. 0,1) + (2. 0,7)] =

E(y) = 0 + 0,1 + 1,4 = 1,5 reactivos

Una vez obtenida la esperanza de E(Y) se suma las E(X) + E (Y):

E [X + Y] = E [X] + E [Y] =

E [X + Y] = 1,3 + 1,5 = 2,8

·         E [ X . Y] = E [X] . E [Y]

E [ X . Y] = 1,3 . 1,5 = 1,95

Propiedades de la varianza

·         V [X] = 0           X es constante

P(X=x) = 1                              V(x) = (1-1)² . 1 =

X= 1                                        V(x) = 0

E(x)= 1

V(x) = Σ (xi – E) . P(X=x)

V(x) = [((0 – 1,3)² . (0.1)) + ((1 – 1,3)² . (0,5) + ((2 – 1.3)² . (0,4)) =

V(x) = 0,169 + 0,045 + 0,196 = 0,41 reactivos²

·         V[aX] = a². V[x]            a constante.

         2. 0,41 = 0,82 =  2². 0,41=1,64

Por lo tanto, si todos los datos se multiplican por una constante, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de la constante.

·         V (x + y) = V(x) + V (y)                   V(x) = 0,41

           V (x + y) = 0,41 + 0,65 = 1,06        V(y) = Σ (yi – E) . P(X=x)

                                                         V(y) = [((0 – 1.5)² . (0,2)) + ((1 – 1,5)² .                       (0,1)) + ((2 – 1,5)² . 0,7))] = 

                                                       V(y) = 0,45 + 0,025 + 0,175 = 0,65 reactivos²   

Propiedades de la desviación

Las propiedades de la desviación son iguales a las de varianza.

1.     σ≥0 La desviación típica es un valor positivo, la igualdad sólo se da en el caso de que todas las muestras sean iguales.

2.    Si a todos los datos se les suma una constante, la desviación típica sigue siendo la misma.

3.    Si todos los datos se multiplican por una constante, la desviación típica queda multiplicada por dicha constante.

4.    Si se dispone de varias distribuciones con la misma media y se calculan las distintas desviaciones típicas, se puede hallar la desviación típica total aplicando la fórmula.

DE(x) = raiz de 0,41 reactivos^{2 =} 0,6403 reactivos